Modul Ajar Matematika X — Bilangan (Eksponen, Logaritma, Barisan & Deret)

Modul Ajar Matematika X

SMA Negeri Ragunan Jakarta — 2025

Bilangan (Eksponen, Logaritma, Barisan & Deret)

Kode Modul: MXA-114
Disusun oleh: Moh Arief Yuhariyanto, M.Pd — NIP: 197307262022211001

Identitas Modul

Mata Pelajaran	Matematika X
Kode Modul	MXA-114
CP	Di akhir fase E, peserta didik dapat menggeneralisasi sifat operasi bilangan berpangkat (eksponen) dan logaritma, serta menggunakan barisan dan deret.
Elemen CP	Bilangan (Eksponen, Logaritma, Barisan & Deret)
ATP	Mengenali pola barisan bilangan aritmetika dan geometri
Kelas / Fase	X / E
Semester	Ganjil
Prasyarat	Memahami operasi hitung bilangan real dan mengidentifikasi pola urutan bilangan.
Pemantik	Pola kursi di bioskop, ubin lantai, jumlah penonton per baris.
Guru Pengampu	Moh Arief Yuhariyanto, M.Pd
NIP	197307262022211001

Kode 1.1.1 — Sifat-sifat Eksponen & Logaritma

Ringkasan: Eksponen: $a^m\\cdot a^n=a^{m+n}$, $(a^m)^n=a^{mn}$, $a^{-n}=1/a^n$. Logaritma: $\\log_a b=c\\iff a^c=b$. Aturan: $\\log_a(xy)=\\log_a x+\\log_a y$, $\\log_a(x/y)=\\log_a x-\\log_a y$, $\\log_a(x^r)=r\\log_a x$.

Contoh 1 — Sederhanakan: $2^3\\cdot2^{-5}$.

Solusi: $2^{-2}=1/4$.

Contoh 2 — Hitung: $\\log_3 27$.

Solusi: $3^3=27\\Rightarrow\\log_3 27=3$.

Latihan (kerjakan di kertas):

Sederhanakan $5^4\\cdot5^{-2}$.
Hitung $\\log_2 32$.
Selesaikan $3^{x}=81$.
Sederhanakan $(2^3)^4$.
Jika $10^y=1000$, tentukan $y$.

Tes Formatif 1.1.1:

Jika $2^5\\cdot2^{-3}=$ ...
Nilai $\\log_{10}100$ adalah ...
Jika $\\log_2 x = 4$, maka $x=$ ...
Sederhanakan $a^{-2}$ menjadi ...
Selesaikan $4^{x}=64$ → $x=$ ...

Kode 1.1.2 — Aturan Eksponen & Logaritma untuk Perhitungan

Ringkasan: Gunakan aturan eksponen untuk menyederhanakan bentuk pangkat, dan ubah antara bentuk log/eksponen untuk kemudahan perhitungan.

Contoh 1 — $\\dfrac{2^7}{2^3}=2^4=16$.

Contoh 2 — $\\log_5 125 - \\log_5 5=3-1=2$.

Latihan:

Sederhanakan $\\dfrac{3^8}{3^5}$.
Hitung $\\log_4 64$.
Selesaikan $5^{x}=125$.
Sederhanakan $(a^2 b^3)^2$.
Jika $\\log_a b = 3$ dan $\\log_a c = 2$, hitung $\\log_a(b/c)$.

Tes Formatif 1.1.2:

$\\dfrac{2^{10}}{2^6}=$ ...
$\\log_2 8 =$ ...
$(x^3)^2 =$ ...
Jika $\\log_{10} x = 2$, maka $x=$ ...
$9^{x}=81$ → $x=$ ...

Kode 1.1.3 — Persamaan & Pertidaksamaan Eksponen/Logaritma

Ringkasan: Selesaikan persamaan eksponen/logaritma dengan mengubah bentuk atau menggunakan sifat logaritma. Perhatikan domain saat menyelesaikan logaritma.

Contoh 1 — $2^x=16\\Rightarrow x=4$.

Contoh 2 — $\\log_3 x = 2 \\Rightarrow x=9$.

Latihan:

Selesaikan $2^{x+1}=8$.
Selesaikan $\\log_{10}(2x)=1$.
Jika $\\log_2 (x-1) = 3$, temukan $x$.
Selesaikan $3^{2x}=27$.
Ubah & selesaikan: $\\log_5 (25x) = 3$.

Tes Formatif 1.1.3:

$2^{2x}=32$ → $x=$ ...
Jika $\\log_3 y = 4$, maka $y=$ ...
$10^{x-1}=100$ → $x=$ ...
Jika $b=a^2$, maka $\\log_a b =$ ...
$5^{x}=625$ → $x=$ ...

Kode 1.1.4 — Pola Barisan Aritmetika & Geometri

Ringkasan: Barisan aritmetika: beda tetap $d$, $u_n=u_1+(n-1)d$. Geometri: rasio $r$, $u_n=u_1 r^{n-1}$.

Contoh (aritmetika) — 3,7,11,... → $u_5=19$.

Contoh (geometri) — 2,6,18,... → $u_4=54$.

Latihan:

Barisan aritmetika 5,8,11,... tentukan $u_7$.
Barisan geometri 4,12,36,... tentukan $u_5$.
Jika $u_3=14$ dan $u_7=26$ pada aritmetika, cari $u_1$ dan $d$.
Jika $u_2=6$ dan $u_4=54$ pada geometri, cari $u_1$ dan $r$.
Apakah 2,4,7,11 aritmetika/geometri? Jelaskan.

Tes Formatif 1.1.4:

Jika $u_1=7,d=3$, maka $u_5=$ ...
Jika $u_1=3,r=2$, maka $u_4=$ ...
Jumlah 4 suku pertama barisan 2,5,8,... adalah ...
Jika $u_n=5+(n-1)2$, berapa $u_{10}$?
Apakah suku ke-3 dari 2,6,18 adalah 18? (jawab singkat)

Kode 1.1.5 — Suku ke-n & Jumlah n Suku (Deret)

Ringkasan: $S_n$ aritmetika: $S_n=\\dfrac{n}{2}(u_1+u_n)$ atau $S_n=\\dfrac{n}{2}(2u_1+(n-1)d)$. $S_n$ geometri (r\\neq1): $S_n=u_1\\dfrac{r^n-1}{r-1}$.

Contoh (aritmetika) — 2,5,8,11,14 → $u_5=14$, $S_5=40$.

Contoh (geometri) — 3,6,12,24 → $S_4=45$.

Latihan:

Hitung $S_6$ untuk 1,4,7,....
Hitung $S_5$ untuk 2,6,18,....
Jika $S_n$ aritmetika = 100 untuk n tertentu, tentukan rata-rata suku bila $u_1=2$.
Deret geometri: $u_1=5,r=3$, hitung $S_3$.
Jika $S_n=50$ untuk aritmetika dengan $u_1=2,d=3$, temukan n bila bulat.

Tes Formatif 1.1.5:

Rumus $S_n$ aritmetika adalah ...
Jika $u_1=4,d=3$, $u_8=$ ...
Jika $u_1=1,r=2$, jumlah 4 suku pertama = ...
Selesaikan $S_4$ untuk 7,10,13,16.
Jika $S_n=30$ untuk u1=2 d=2, maka n=?

Kode 1.1.6 — Masalah Kontekstual Barisan & Deret

Ringkasan: Terapkan konsep barisan & deret ke masalah nyata (susunan kursi, bunga majemuk sederhana, jumlah tangga, dll.).

Contoh 1 — Bioskop: baris 1 = 10 kursi, tiap baris +3 → baris ke-6?

u_6=10+(6-1)3=25

Contoh 2 — Pengunjung double tiap hari: u1=50, total 3 hari?

S_3=50*(2^3-1)=350

Latihan:

Total kursi 5 baris jika baris 1=12 & bertambah 4 tiap baris.
Rp1000, naik 5% tiap tahun → setelah 3 tahun (approksimasi).
Jika $u_3=14$ & $u_7=26$ (aritmetika), berapa $S_7$?
Geometri: u1=1 r=3 → jumlah 4 suku pertama?
Soal kontekstual singkat (buat dan selesaikan).

Tes Formatif 1.1.6:

Jika baris bertambah 5 kursi, baris1=20, baris4 berapa?
Jika pengunjung r=2 & u1=10, total 4 hari = ?
Jika $u_n=3n+2$, berapa $u_5$?
Jika $S_3=91$ dan u1=7 (geometri), temukan r.
Soal konteks singkat: selesaikan.

Tes Sumatif — Evaluasi Akhir Modul

Petunjuk: Kerjakan semua soal. Soal 1–15 PG, 16–20 uraian singkat.

PG 1. Nilai $\\log_2 16$ adalah: A.2 B.3 C.4 D.5
PG 2. $2^3\\cdot2^{-1}=$ A.$2^2$ B.$2^3$ C.$2$ D.$1/2$
PG 3. Jika $\\log_3 81=x$, x= A.2 B.3 C.4 D.5
PG 4. Suku ke-5 barisan 4,7,10,... adalah: A.16 B.18 C.19 D.20
PG 5. Deret geometri u1=3 r=2 → S4 = A.45 B.39 C.48 D.30
PG 6. $3^x=27$ → x= A.1 B.2 C.3 D.4
PG 7. $\\log_a(xy) =$ A.$\\log_a x - \\log_a y$ B.$\\log_a x + \\log_a y$ C.$\\log_a x \\cdot \\log_a y$ D.$\\log_a(x)/\\log_a(y)$
PG 8. Jika u1=5 d=4, u6 = A.25 B.21 C.29 D.26
PG 9. $\\log_2 32$ = A.4 B.5 C.6 D.3
PG 10. $(a^m)^n =$ A.$a^{m+n}$ B.$a^{mn}$ C.$a^{m-n}$ D.$a^{m/n}$
PG 11. Untuk 2,6,18,... rasio r = A.2 B.3 C.4 D.6
PG 12. Jumlah 3 suku pertama 3,9,27 = A.39 B.36 C.45 D.27
PG 13. $\\log_{10}1000$ = A.2 B.3 C.10 D.100
PG 14. Jika $\\log_2 x =5$, x = A.10 B.25 C.32 D.64
PG 15. Suku ke-4 deret 1,3,5,... = A.7 B.8 C.9 D.10

Soal Essay (16–20)

Jelaskan langkah menyelesaikan $2^{x+1}=32$ dan temukan nilai $x$.
Jika sebuah barisan aritmetika memiliki $u_4=10$ dan $u_6=16$, tentukan $u_{20}$ (tunjukkan langkah).
Jumlah kursi 5 baris di bioskop: baris1=12, tiap baris bertambah 3. Hitung total.
Selesaikan $\\log_3 (x-2) = 2$ (tunjukkan langkah & domain solusi).
Jika $S_n$ geometri = 364, u1=7, r=2, temukan n (tunjukkan langkah).

(Kunci jawaban tersedia terpisah jika diminta.)